LeetCode_123_FullWeightBag


本题不是LeetCode中的题目,仅仅是为了记录完全背包问题基础知识。

1. question: 完全背包问题(简单)

完全背包和01背包一个重要区别就是完全背包允许一个物品使用多次

显然,这个特点使得思路有以下改变:

  1. 初始化的时候,当背包容量大于第一个物品时,可以使用多次。
  2. 在后续动态规划时,(如果是二维数组保存规划过程),重点在于是否存放本(次)物品,和01背包是一样的,一定是在存放和不存放之间取最大值。注意,如果存放,肯定要留出空间,但是此时留出空间,不再是上一个元素留出空间,而是当前元素留出空间,是在当前元素,在那个重量下选取:dp[i][j-weight[i]]。而不再是01背包中的dp[i-1][j-weight[i]]。因为在遍历本容量时,dp[i][j-weight[i]]已经取得了最优结果,也就是要么此时选取的是本元素,要么就是本容量中完全选取前面的元素。
  3. 在后续动态规划时,(如果是一维动态数组保存规划过程),那么此时不再是逆序遍历了,而是正序遍历。

2. answers

针对二维数组,代码如下所示:

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public class Solution_0123 {

//先遍历物品,再遍历背包
private int testCompletePack(){

int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;

int[][] dp = new int[weight.length][bagWeight + 1];

// 初始化 背包尺寸为0的情况
for (int i = 0; i < weight.length; i++) {
dp[i][0] = 0;
}

// 初始化 在任何尺寸情况下,仅使用第一个物品所能达到的最大值。
for (int i = 0; i < bagWeight + 1; i++) {
if(weight[0] <= i) dp[0][i] = i / weight[0] * value[0];
}

// 动态规划
for (int i = 1; i < weight.length; i++){ // 遍历物品

for (int j = 1; j < bagWeight + 1; j++){ // 遍历背包容量

// 是否选取本次元素
if(j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i-1][j];

// TODO 注意,此时是在当前元素,在那个重量下选取:dp[i][j-weight[i]]。而不再是01背包中的dp[i-1][j-weight[i]]
// 因为在遍历本容量时,dp[i][j-weight[i]]已经取得了最优结果。
else dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i]);
}
}

return dp[weight.length - 1][bagWeight];
}

public static void main(String[] args) {

Solution_0123 s = new Solution_0123();

System.out.println(s.testCompletePack());
}
}

其实可以看到,在完全背包问题中,在当前元素当前容量下,所用到的其他数据,要么是上一个元素时的当前容量,要么就是当前元素的前面容量。所以仍然可采用一维动态数组来存储。因为可能用到当前元素的前面容量,所以无需逆序,只需要正序遍历即可。代码如下所示:

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public class Solution_0123_02 {

//先遍历物品,再遍历背包
private int testCompletePack(){

int[] weight = {1, 3, 4};
int[] value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;

int[] dp = new int[bagWeight + 1];

// 初始化 在任何尺寸情况下,仅使用第一个物品所能达到的最大值。
for (int i = 0; i < bagWeight + 1; i++) {
if(weight[0] <= i) dp[i] = i / weight[0] * value[0];
}

// 动态规划
for (int i = 1; i < weight.length; i++){ // 遍历物品

for (int j = 1; j < bagWeight + 1; j++){ // 遍历背包容量

// 是否选取本次元素
if(j < weight[i]) dp[j] = dp[j];

// TODO 注意,此时是在当前元素,在那个重量下选取:dp[i][j-weight[i]]。而不再是01背包中的dp[i-1][j-weight[i]]
// 因为在遍历本容量时,dp[i][j-weight[i]]已经取得了最优结果。
else dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i]);
}
}

return dp[bagWeight];
}

public static void main(String[] args) {
Solution_0123_02 s = new Solution_0123_02();

System.out.println(s.testCompletePack());
}
}

其实除了完全背包(不限制物品数量),还有多重背包,即每个物品的数量不一样。其实多重背包和01背包是类似的,虽然每个物品的数量不一样(都不是1),但是总物品数量是固定的,因此说,可以将多重背包中的物品,分成若干个个数为1的物品,然后当成01背包即可。

3. 备注

参考力扣(LeetCode)官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台 (leetcode-cn.com)代码随想录 (programmercarl.com)


文章作者: 浮云
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